已知橢圓過點,且離心率
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在過點的直線交橢圓于不同的兩點M、N,且滿足(其中點O為坐標原點),若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由.

(1)(2)存在直線滿足題意

解析試題分析:(1)∵橢圓過點,且離心率,
 ,                                                                ……2分
解得:,,                                                          ……4分 
∴橢圓的方程為:.                                                     ……5分
(2)假設存在過點的直線交橢圓于不同的兩點MN,且滿足.   ……6分
若直線的斜率不存在,且直線過點,則直線即為y軸所在直線,
∴直線與橢圓的兩不同交點M、N就是橢圓短軸的端點,
,
,
∴直線的斜率必存在,不妨設為k ,                                                  ……7分
∴可設直線的方程為:,即,
聯(lián)立 ,消y,
∵直線與橢圓相交于不同的兩點MN,
 得:    ①                    ……8分
,
,
,                 ……9分
,
,
化簡得,         
,經(jīng)檢驗均滿足①式,                                            ……10分
∴直線的方程為:,                                       ……11分
∴存在直線滿足題意.                             ……12分
考點:本小題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系.
點評:涉及到直線與圓錐曲線的位置關系時,如果需要設出直線方程,不要忘記考慮直線的斜率是否存在,聯(lián)立直線與圓錐曲線方程后,不要忘記驗證判別式大于零.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設橢圓C:的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A,B兩點,直線l的傾斜角為60o,.
求橢圓C的離心率;
如果|AB|=,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖橢圓的兩個焦點為、和頂點、構成面積為32的正方形.

(1)求此時橢圓的方程;
(2)設斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點、、的中點,且. 問:、兩點能否關于直線對稱. 若能,求出的取值范圍;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓C中心在原點,焦點在軸上,一條經(jīng)過點且傾斜角余弦值為的直線交橢圓于A,B兩點,交軸于M點,又.
(1)求直線的方程;
(2)求橢圓C長軸的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分) 已知直線L:y=x+1與曲線C:交于不同的兩點A,B;O為坐標原點。
(1)若,試探究在曲線C上僅存在幾個點到直線L的距離恰為?并說明理由;
(2)若,且a>b,,試求曲線C的離心率e的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓C :經(jīng)過點離心率為。
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C相交于A、B兩點,以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點P在橢圓C上,O為坐標原點。求O到直線l的距離的最小值。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分13分)已知中心在坐標原點O,焦點在軸上,長軸長是短軸長的2倍的橢圓經(jīng)過點M(2,1)
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線平行于,且與橢圓交于A、B兩個不同點.
(。┤為鈍角,求直線軸上的截距m的取值范圍;
(ⅱ)求證直線MA、MBx軸圍成的三角形總是等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分13分)
已知橢圓的離心率為,橢圓短軸長為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知動直線與橢圓相交于、兩點. ①若線段中點的橫坐標為,求斜率的值;②若點,求證:為定值。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
(1)求直線被雙曲線截得的弦長;
(2)求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。

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