【題目】已知拋物線,直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且垂直于拋物線的對稱軸,與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為4.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知,過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),設(shè)直線與的斜率分別為和,求證:為定值,并求出定值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)拋物線中過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦長為4可得的值,進(jìn)而得到拋物線的方程.(2)由題意直線的斜率存在,設(shè)其方程為,與拋物線方程聯(lián)立后求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式求出和,然后求出可證明為定值.
(1)由題意得拋物線的焦點(diǎn)為,
∴過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的直線為,
∴直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為,
由題意得,
∴拋物線的方程為.
(2)由題意直線的斜率存在,設(shè)其方程為,
由消去y整理得,
∵直線與拋物線交于兩點(diǎn),
∴,解得或.
設(shè),
則.
∴.
∴為定值,且定值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,若,則對此不等式描敘正
確的是( )
A. 若,則至少存在一個(gè)以為邊長的等邊三角形
B. 若,則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形
C. 若,則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形
D. 若,則對滿足不等式的不存在以為邊長的直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面⊥底面,若分別為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點(diǎn)是圓: 上的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)的連線段的垂直平分線和相交于點(diǎn).
(I)求點(diǎn)的軌跡方程;
(II)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡于點(diǎn), 兩點(diǎn),直線與坐標(biāo)軸不重合. 是軌跡上的一點(diǎn),若的面積是4,試問直線, 的斜率之積是否為定值,若是,求出此定值,否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn). 為橢圓的右焦點(diǎn), 為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),連接分別交橢圓于兩點(diǎn).
⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵若,求的值;
⑶設(shè)直線, 的斜率分別為, ,是否存在實(shí)數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知平行于軸的動直線交拋物線: 于點(diǎn),點(diǎn)為的焦點(diǎn).圓心不在軸上的圓與直線, , 軸都相切,設(shè)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線與曲線相切于點(diǎn),過且垂直于的直線為,直線, 分別與軸相交于點(diǎn), .當(dāng)線段的長度最小時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓心在原點(diǎn)的兩圓半徑分別為,點(diǎn)是大圓上一動點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為, 與小圓交于點(diǎn),過作的垂線,垂足為,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求的軌跡方程;
(2) 已知直線: (是常數(shù),且, , 是軌跡上的兩點(diǎn),且在直線的兩側(cè),滿足兩點(diǎn)到直線的距離相等.平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不可能,說明理由.
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