【題目】已知拋物線,直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且垂直于拋物線的對稱軸,與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為4.

(1)求拋物線的方程;

(2)已知,過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值,并求出定值.

【答案】(1);(2).

【解析】

1)根據(jù)拋物線中過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦長為4可得的值,進(jìn)而得到拋物線的方程.(2)由題意直線的斜率存在,設(shè)其方程為,與拋物線方程聯(lián)立后求出兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式求出,然后求出可證明為定值.

(1)由題意得拋物線的焦點(diǎn)為,

∴過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的直線為,

∴直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為,

由題意得,

∴拋物線的方程為

(2)由題意直線的斜率存在,設(shè)其方程為

消去y整理得,

∵直線與拋物線交于兩點(diǎn),

,解得

設(shè),

為定值,且定值為

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⑶設(shè)直線, 的斜率分別為, ,是否存在實(shí)數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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(1)求曲線的方程;

(2)若直線與曲線相切于點(diǎn),過且垂直于的直線為,直線, 分別與軸相交于點(diǎn), .當(dāng)線段的長度最小時(shí),求的值.

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(1)求的軌跡方程;

(2) 已知直線 是常數(shù),且, 是軌跡上的兩點(diǎn),且在直線的兩側(cè),滿足兩點(diǎn)到直線的距離相等.平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不可能,說明理由.

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