Question

設(shè)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論g（x）在[0，1]上的單調(diào)性并用定義證明；
（Ⅲ）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）=3^x，且f（a+2）=18求出a，再代入g（x）即可．
（Ⅱ）用證明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的常用基本步驟：取點(diǎn)，作差或作商，變形，判斷即可．
（Ⅲ）令t=2x 轉(zhuǎn)化為t-t²-b=0在[-

1

4

，4]有兩個(gè)不同的解，利用數(shù)形結(jié)合來解題．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18?3^a=2（2分）
∵g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x
∴g（x）=2^x-4^x（2分）
（2）g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減．證明如下
設(shè)0≤x₁＜x₂≤1
g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1
=(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)（2分）
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴2x2＞2x1，1≤2x1＜2，1＜2x2≤2
∴2≤2x1+2x2＜4
∴-3＜1-2x1-2x2＜-1，
∴(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)＜0
∴g（x₂）＜g（x₁）
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減（2分）
（3）方程為2x -4x -b=0，
令t=2x x∈[-2，2]，則

1

4

≤t≤4（2分）
轉(zhuǎn)化為方程為t-t²-b=0在[

1

4

，4]有兩個(gè)不同的解．
∴b=t-t²即b=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)b取最大值

1

4

當(dāng)t=

1

4

時(shí)，b=

3

16

，當(dāng)t=4時(shí)，b=-12
可得，當(dāng)

3

16

≤b＜

1

4

時(shí)，方程有兩不同解．（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題是在考查指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合思想等的一個(gè)綜合考查．在用定義證明或判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)，基本步驟是取點(diǎn)，作差或作商，變形，判斷．