【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)=ax2+x.
(Ⅰ)當(dāng)a>0時(shí),求證:對(duì)任意的x1,x2∈R都有[f(x1)+f(x2)]成立;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),|f(x)|≤1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若a=,點(diǎn)p(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn),求m,n.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(II)-≤a≤-(Ⅲ)m=n=0或者m=-4,n=0
【解析】
(Ⅰ)作差比較;
(Ⅱ)分離變量后再將恒成立轉(zhuǎn)化為最值;
(Ⅲ)根據(jù)兩個(gè)整數(shù)的和與積都為偶數(shù),得這兩個(gè)整數(shù)均為偶數(shù).
解:(Ⅰ)證明:∵[f(x1)+f(x2)]-f()
=(ax12+x1+ax22+x2)-a()2-
=,
∵a>0,∴[f(x1)+f(x2)]-f()≥0,
∴[f(x1)+f(x2)]≥f().
(Ⅱ)當(dāng)x=0時(shí),|f(x)|≤1顯然成立,此時(shí)a∈R;
當(dāng)x∈(0,2]時(shí),|f(x)|≤1-1≤ax2+x≤1≤a≤
-()2-≤a≤()2-恒成立,
∵x∈(0,2],∴-()2-有最大值-,()2-有最小值-,
∴-≤a≤-.
(Ⅲ)∵a=,∴f(x)=x2+x,
∵P(m,n2)在函數(shù)f(x)的圖象上,∴m2+m=n2,
變形得(m+2)2-4n2=4,
∴(m+2-2n)(m+2+2n)=4,且m∈Z,n∈Z,
∵(m+2-2n)+(m+2+2n)=2m+4為偶數(shù),
∴m+2-2n與m+2+2n同為偶數(shù),
∴或
解得:或
故答案為:m=n=0或者m=-4,n=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.
(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng);
(2)求展開式中所有整式項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列敘述:
①化簡(jiǎn)的結(jié)果為﹣.
②函數(shù)y=在(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞)上是減函數(shù);
③函數(shù)y=log3x+x2﹣2在定義域內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn);
④定義域內(nèi)任意兩個(gè)變量x1,x2,都有,則f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).
其中正確的結(jié)論序號(hào)是_____
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+
(1)若a2 , a3 , a2+a3成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)雙曲線x2﹣ =1的離心率為en , 且e2=2,求e12+e22+…+en2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;
(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)已知函數(shù)(R).
(1)當(dāng)取什么值時(shí),函數(shù)取得最大值,并求其最大值;
(2)若為銳角,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BCD=60°,AB=2AD,PD⊥平面ABCD,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面BMD;
(2)求證:AD⊥PB;
(3)若AB=PD=2,求點(diǎn)A到平面BMD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC的邊長(zhǎng)AB=1,側(cè)棱長(zhǎng)為,P是A1B1的中點(diǎn),E、F、G分別是AC,BC,PC的中點(diǎn).
(1)求FG與BB1所成角的大。
(2)求證:平面EFG∥平面ABB1A1.
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