【題目】設函數(shù)f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調性;
(2)證明:當x>1時,g(x)>0;
(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內恒成立.
【答案】
(1)
解:由f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得f′(x)=2ax﹣ = (x>0),
當a≤0時,f′(x)<0在(0,+∞)成立,則f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù);
當a>0時,由f′(x)=0,得x= = ,
∴當x∈(0, )時,f′(x)<0,當x∈( ,+∞)時,f′(x)>0,
則f(x)在(0, )上為減函數(shù),在( ,+∞)上為增函數(shù);
綜上,當a≤0時,f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù),當a>0時,f(x)在(0, )上為減函數(shù),在( ,+∞)上為增函數(shù);
(2)
證明:要證g(x)>0(x>1),即 >0,
即證 ,也就是證 ,
令h(x)= ,則h′(x)= ,
∴h(x)在(1,+∞)上單調遞增,則h(x)min=h(1)=e,
即當x>1時,h(x)>e,∴當x>1時,g(x)>0;
(3)
解:由f(x)>g(x),得 ,
設t(x)= ,
由題意知,t(x)>0在(1,+∞)內恒成立,
∵t(1)=0,
∴有t′(x)=2ax = ≥0在(1,+∞)內恒成立,
令φ(x)= ,
則φ′(x)= = ,
當x≥2時,φ′(x)>0,
令h(x)= ,h′(x)= ,函數(shù)在[1,2)上單調遞增,∴h(x)min=h(1)=﹣1.
又2a≥1,e1﹣x>0,∴1<x<2,φ′(x)>0,
綜上所述,x>1,φ′(x)>0,φ(x)在區(qū)間(1,+∞)單調遞增,
∴t′(x)>t′(1)≥0,即t(x)在區(qū)間(1,+∞)單調遞增,
∴a≥ .
【解析】(1)求導數(shù),分類討論,即可討論f(x)的單調性;
(2)要證g(x)>0(x>1),即 ﹣ >0,即證 ,也就是證 ;
(3)由f(x)>g(x),得 ,設t(x)= ,由題意知,t(x)>0在(1,+∞)內恒成立,再構造函數(shù),求導數(shù),即可確定a的取值范圍;
本題考查導數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調性,不等式的證明,考查恒成立成立問題,正確構造函數(shù),求導數(shù)是關鍵.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關知識,掌握偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,以及對利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的理解,了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求C;
(2)若 的面積為 ,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4x+3sinx,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. (0,1) B. C. D. (-∞,-2)∪(1,+∞)
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行了調查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的a值;
(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù).說明理由;
(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)(x≥0,a>0), .
(1)討論函數(shù)y=f(x)-g(x)的單調性;
(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在x∈[0,+∞)時恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)=ax2+x.
(Ⅰ)當a>0時,求證:對任意的x1,x2∈R都有[f(x1)+f(x2)]成立;
(Ⅱ)當x∈[0,2]時,|f(x)|≤1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若a=,點p(m,n2)(m∈Z,n∈Z)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點,求m,n.
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【題目】若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質.下列函數(shù)中具有T性質的是( 。
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3
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【題目】平面直角坐標系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率是 ,拋物線E:x2=2y的焦點F是C的一個頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設P是E上的動點,且位于第一象限,E在點P處的切線l與C交與不同的兩點A,B,線段AB的中點為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.
①求證:點M在定直線上;
②直線l與y軸交于點G,記△PFG的面積為S1 , △PDM的面積為S2 , 求 的最大值及取得最大值時點P的坐標.
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【題目】某課程考核分理論與實驗兩部分進行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”,則該課程考核“合格”,若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7,在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有影響.
(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(2)求這三個人該課程考核都合格的概率(結果保留三位小數(shù)).
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