【題目】已知橢圓C: (a>0,b>0)的離心率為 ,點(diǎn)A(0,﹣2)與橢圓右焦點(diǎn)F的連線的斜率為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求直線l的方程.
【答案】
(1)解:設(shè)F(c,0).
∵直線AF的斜率為 ,
∴ = ,解得c= .
又離心率為e= = ,
由b2=a2﹣c2,解得:a=2,b=1,
∴橢圓E的方程為 +y2=1.
(2)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意可設(shè)直線l的方程為:y=kx﹣2,與橢圓方程聯(lián)立,
整理得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,當(dāng)△=16(4k2﹣3)>0時(shí),即k2> 時(shí),
x1+x2= ,x1x2= ,
∴|PQ|= ,
∵點(diǎn)O到直線l的距離d= ,
∴S△OPQ= d|PQ|= ,
設(shè) =t>0,則4k2=t2+3,
∴S△OPQ= = ≤1,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即 =2,解得k=± 時(shí)取等號(hào),且滿足△>0,
∴△OPQ的面積最大時(shí),直線l的方程為:y=± x﹣2
【解析】(1)設(shè)F(c,0),利用直線的斜率公式可得關(guān)于c的方程,求出c,由離心率e= = ,求得a,由b2=a2﹣c2 , 求得b的值,即可求得橢圓C的方程;(2)設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),由題意可設(shè)直線l的方程為:y=kx﹣2,與橢圓的方程聯(lián)立可得(1+4k2)x2﹣16kx12=0,求出方程的根,從而表示出|PQ|以及點(diǎn)O到直線PQ的距離,從而表示出S△OPQ , 再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足3asinC=4ccosA, =3.
(1)求△ABC的面積S;
(2)若c=1,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】市某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查該市市民對(duì)我國(guó)申辦年足球世界杯的態(tài)度,隨機(jī)選取了位市民進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
支持 | 不支持 | 合計(jì) | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)利用(1)完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題:
(i)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān);
(ii)已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教師,現(xiàn)從這位退休老人中隨機(jī)抽取人,求至多有位老師的概率.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,AC為⊙O的直徑,D為 的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn).
(1)求證:DE∥AB;
(2)求證:ACBC=2ADCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱中,為的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若點(diǎn)為四邊形內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn),且三棱錐的體積為三棱柱體積的,試在圖中畫出點(diǎn)的軌跡,并說(shuō)明理由.
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【題目】2018年2月22日,在韓國(guó)平昌冬奧會(huì)短道速滑男子米比賽中,中國(guó)選手武大靖以連續(xù)打破世界紀(jì)錄的優(yōu)異表現(xiàn),為中國(guó)代表隊(duì)奪得了本屆冬奧會(huì)的首枚金牌,也創(chuàng)造了中國(guó)男子冰上競(jìng)速項(xiàng)目在冬奧會(huì)金牌零的突破.根據(jù)短道速滑男子米的比賽規(guī)則,運(yùn)動(dòng)員自出發(fā)點(diǎn)出發(fā)進(jìn)入滑行階段后,每滑行一圈都要依次經(jīng)過(guò)個(gè)直道與彎道的交接口.已知某男子速滑運(yùn)動(dòng)員順利通過(guò)每個(gè)交接口的概率均為,摔倒的概率均為.假定運(yùn)動(dòng)員只有在摔倒或到達(dá)終點(diǎn)時(shí)才停止滑行,現(xiàn)在用表示該運(yùn)動(dòng)員滑行最后一圈時(shí)在這一圈內(nèi)已經(jīng)順利通過(guò)的交接口數(shù).
(1)求該運(yùn)動(dòng)員停止滑行時(shí)恰好已順利通過(guò)個(gè)交接口的概率;
(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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