Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AA₁上
（I）當(dāng)AE：EA₁=1：2時，求證DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)E，使三棱錐C₁-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的，若存在，求AE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：因為正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以三角形△ABC是正三角形，
又因為D是AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CAA₁C₁，所以BD⊥DE，
因為AE：EA₁=1：2，AB=2，，所以AE=，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
在Rt△DCC₁中∠C₁DC=60°，
所以∠EDC₁=90°即：DE⊥BC₁．
（Ⅱ）設(shè)AE=h，則A₁E=，
∴=
=
=，
∵BD⊥平面ACC₁A₁，

又，
∴
解得：h=，
故存在點(diǎn)E，E為A₁時，三棱錐C₁-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的，
分析：（I）證明BD⊥DE，說明△ADE是直角三角形，求出∠ADE=30°，說明△DCC₁是直角三角形，求出∠C₁DC=60°，然后證明DE⊥BC₁．
（Ⅱ）設(shè)AE=h，利用=，通過求出棱錐的體積，利用三棱錐C₁-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積的，求出h，然后說明存在E即可．
點(diǎn)評：本題考查直線與直線的垂直的證明，棱錐的體積的求法，存在性問題的解題的策略，考查空間想象能力以及邏輯推理與計算能力．