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已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a,M為棱A1C1上的動點.
(1)當M在何處時,BC1∥平面MB1A,并證明之;
(2)在(1)下,求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大;
(3)求B-AB1M體積的最大值.
分析:(I)當M在A1C1中點時,BC1∥平面MB1A.連接NB1并延長與CB延長線交于G,在△CGN中,利用BC1為中位線得BC1∥GN,從而可證BC1∥平面MAB1;
(II)可證∠MAC為平面MB1A與平面ABC所成二面角的平面角,進而可求;
(Ⅲ)設動點M到平面A1ABB1的距離為hM,利用等體積進行轉化,從而可求B-AB1M體積最大值.
解答:解:(I)當M在A1C1中點時,BC1∥平面MB1A
∵M為A1C1中點,延長AM、CC1,使AM與CC1延長線交于N,則NC1=C1C=a
連接NB1并延長與CB延長線交于G,則BG=CB,NB1=B1G     (2分)
在△CGN中,BC1為中位BC1∥GN
又GN?平面MAB1,∴BC1∥平面MAB1 (4分)
(II)∵△AGC中,BC=BA=BG∴∠GAC=90°
即AC⊥AG     又AG⊥AA1    AA1∩AC=A∴AG⊥平面A1ACC1,AG⊥AM(6分)
∴∠MAC為平面MB1A與平面ABC所成二面角的平面角∴tan∠MAC=
a
1
2
a
=2

∴所求二面角為 arctan2.(8分)
(Ⅲ)設動點M到平面A1ABB1的距離為hMVB-AB1M=VM-AB1B=
1
3
S△ABB1hM=
1
3
1
2
a2hM
1
6
a2
3
2
a=
3
12
a3

即B-AB1M體積最大值為
3
12
a3
.此時M點與C1重合.   (12分)
點評:本題以正三棱柱為載體,考查線面平行,考查面面角,同時考查了幾何體的體積,綜合性強.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1,高為h(h>2),動點M在側棱BB1上移動.設AM與側面BB1C1C所成的角為θ.
(1)當θ∈[
π
6
,
π
4
]
時,求點M到平面ABC的距離的取值范圍;
(2)當θ=
π
6
時,求向量
AM
BC
夾角的大。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面邊長為8,對角線B1C=10,
(1)若D為AC的中點,求證:AB1∥平面C1BD;
(2)若CD=2AD,BP=λPB1,當λ為何值時,AP∥平面C1BD;
(3)在(1)的條件下,求直線AB1到平面C1BD的距離.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點,AA1=AB=1.
(1)求證:平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)求證:A1C∥平面AB1D;
(3)求二面角B-AB1-D的正切值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•湖北模擬)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a,P為棱A1B上的動點.
(Ⅰ)試確定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點C1到面PAC的距離.

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