Question

對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞0，總有a-2x-|lnx|≤0，則實(shí)數(shù)a的范圍為

 

．

Answer 1

分析：先把a(bǔ)從不等式中分離出來(lái)，寫(xiě)在不等式的左邊，把右邊的式子設(shè)為函數(shù)，寫(xiě)成分段函數(shù)，在各段分別求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，得出a的范圍．

解答：解：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞0，總有a≤2x+|lnx|，
（1）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，a≤2x-lnx，（2x-lnx）′=2-

1

x

=

2x-1

x

，
令（2x-lnx）′＞0，得

1

2

＜x＜1，令（2x-lnx）′＜0得0＜x＜

1

2

；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，a≤2x+lnx，（2x+lnx）′=2+

1

x

=

2x+1

x

，
當(dāng)x≥1時(shí)，（2x+lnx）′＞0恒成立；
由（1）（2）知：x=

1

2

時(shí)，2x+|lnx|的最小值為1-ln

1

2

=1+ln2．
則實(shí)數(shù)a的范圍為（-∞，1+ln2]．
故答案為（-∞，1+ln2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，若f（a）=0：a的左側(cè)f'（x）＜0，a的右側(cè)f'（x）＞0，則a是極小值點(diǎn)；掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．