Question

如圖，在多面體中，四邊形是正方形，AC=AB=1，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值的大小.

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：【解析】
（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，

，，，

四邊形為平行四邊形， 從而，

面，面

面 2分

，，

四邊形為平行四邊形，且

又是正方形，，且

故為平行四邊形，

面，面面

，面面

面，面 6分

（2）四邊形為正方形, ,

，

由勾股定理可得：， ，

，面 ，

，

由勾股定理可得：， 8分

故以為原點(diǎn)，以為軸建立坐標(biāo)系如圖，則，

，所以，，，.

設(shè)面的法向量為，由

，令，則

設(shè)面的法向量為，則

則，令，則 10分

所以

設(shè)二面角的平面角為，

所以 . 12分

考點(diǎn)：1、直線與平面平行的判定；2、求二面角的余弦值.