Question

下面給出四個命題：
①函數(shù)f(x)=

x

-(

1

4

)x的零點(diǎn)在區(qū)間(

1

4

，

1

3

)內(nèi)；
②若函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）=1023；
③“若a，b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是“若a+b不是偶數(shù)，則a，b都不是奇數(shù)”；
④“若a=-1，則函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個零點(diǎn)”的逆命題為真命題．
其中所有正確的命題序號是

②

．

Answer 1

分析：根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可判斷①；根據(jù)已知結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可判斷②；根據(jù)逆否命題的定義，寫出原命題的逆否命題，可判斷③；根據(jù)四種命題的關(guān)系，判斷原命題的逆命題的真假，可判斷④．

解答：解：①函數(shù)f(x)=

x

-(

1

4

)x在定義域（0，+∞）為連續(xù)的增函數(shù)，
∵f(

1

4

)=

1

2

-(

1

4

)

1

4

=

1- 2

2

＜0，f(

1

3

)=

3

3

-(

1

4

)

1

3

＜0，
故函數(shù)f(x)=

x

-(

1

4

)x在區(qū)間(

1

4

，

1

3

)內(nèi)不存在零點(diǎn)，故①錯誤；
②∵f（1）=1，f（x+1）=2f（x），
則f（1），f（2），…，f（10）構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則f（1）+f（2）+…+f（10）=2¹⁰-1=1023，故②正確；
③“若a，b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的逆否命題是：“若a+b不是偶數(shù)，則a，b不都是奇數(shù)”，故③錯誤．
④“若a=-1，則函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個零點(diǎn)”的逆命題為：“若函數(shù)f（x）=ax²+2x-1只有一個零點(diǎn)，則a=-1”，
顯然a=0時，f（x）=ax²+2x-1=2x-1也滿足只有一個零點(diǎn)，故④錯誤；
故答案為：②

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了零點(diǎn)存在定理，四種命題，數(shù)列求和等知識點(diǎn)，是函數(shù)較為綜合的應(yīng)用，難度中檔．