在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下面給出四個命題:
①(
A1A
+
A1D1
+
A1B1
2=3(
A1B1
2
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=0.
③向量
AD1
與向量
A1B
的夾角為60°
④此正方體體積為:|
AB
AA1
AD
|
其中正確的命題序號是
①②③
①②③
分析:①根據(jù)
A1A
+
A1D1
+
A1B1
=
A1C
,可得結(jié)論;
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=(
A1B
+
BC
)•
AB1
=0;
③△AD1C是正三角形,所以向量
AD1
與向量
D1C
的夾角為60°,根據(jù)
D1C
A1B
,可得結(jié)論;
④正方體體積為:||
AB
||
AA1
||
AD
|
解答:解:①∵
A1A
+
A1D1
+
A1B1
=
A1C
,∴(
A1A
+
A1D1
+
A1B1
2=3(
A1B1
2,即①正確;
A1C
•(
A1B1
-
A1A
)=(
A1B
+
BC
)•
AB1
=0,即②正確;
③∵△AD1C是正三角形,∴向量
AD1
與向量
D1C
的夾角為60°
D1C
A1B

∴向量
AD1
與向量
A1B
的夾角為60°,即③正確;
④正方體體積為:||
AB
||
AA1
||
AD
|
,即④不正確.
故答案為①②③.
點(diǎn)評:本題考查向量知識的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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16、在正方體ABCD-A′B′C′D′中,過對角線BD′的一個平面交AA′于E,交CC′于F,則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形;
②四邊形BFD′E有可能是正方形;
③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形;
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上結(jié)論正確的為
①③④
.(寫出所有正確結(jié)論的編號)

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如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E為D′C′的中點(diǎn),則二面角E-AB-C的大小為
45°
45°

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(1)若M為BB′的中點(diǎn),證明:平面EMF∥平面ABCD.
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在正方體ABCD-A′B′C′D′中,過對角線BD′的一個平面交棱AA′于E,交棱CC′于F,則:
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形;
②四邊形BFD′E有可能是正方形;
③四邊形BFD′E有可能是菱形;
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
其中所有正確結(jié)論的序號是
 

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