Question

（2011•重慶）已知sinα=

1

2

+cosα，且α∈（0，

π

2

），則

cos2α

sin(α- π 4 )

的值為

-

14

2

．

Answer 1

分析：由已知的等式變形后，記作①，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系列出關(guān)系式，記作②，再根據(jù)α為銳角，聯(lián)立①②求出sinα和cosα的值，進(jìn)而利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式分別求出所求式子的分子與分母，代入即可求出所求式子的值．

解答：解：由sinα=

1

2

+cosα，得到sinα-cosα=

1

2

①，
又sin²α+cos²α=1②，且α∈（0，

π

2

），
聯(lián)立①②解得：sinα=

7 +1

4

，cosα=

7 -1

4

，
∴cos2α=cos²α-sin²α=-

7

4

，sin（α-

π

4

）=

2

2

（sinα-cosα）=

2

4

，
則

cos2α

sin(α- π 4 )

=

- 7 4

2 4

=-

14

2

．
故答案為：-

14

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．