Question

【題目】如圖，設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù)，且aij{1，-1}.記S(n，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對(duì)于，記ri (A)為A的第i行各數(shù)之積，cj (A)為A的第j列各數(shù)之積．令

a11	a12	…	a1n
a21	a22		a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

（Ⅰ）請(qǐng)寫出一個(gè)AS(4，4)，使得l(A)=0；

（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說(shuō)明理由；

（Ⅲ）給定正整數(shù)n，對(duì)于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）不存在，理由見(jiàn)解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）可取第一行都為-1，其余的都取1，即滿足題意；

（Ⅱ）用反證法證明：假設(shè)存在，得出矛盾，從而證明結(jié)論；

（Ⅲ）通過(guò)分析正確得出l(A)的表達(dá)式，以及從A0如何得到A1，A2……，以此類推可得到Ak．

（Ⅰ）答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.

（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，證明如下:

假如存在，使得.

因?yàn)?/span>，，

所以，，...，，，，...，這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1，9個(gè)-1.

令.

一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1，9個(gè)-1，從而①，

另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為m）；

也表示m，從而②，

①，②相矛盾，從而不存在，使得.

（Ⅲ）記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為p.

一方面，從“行”的角度看，有；

另一方面，從“列”的角度看，有；

從而有③，

注意到，，

下面考慮，，...，，，，...，中-1的個(gè)數(shù)，

由③知，上述2n個(gè)實(shí)數(shù)中，-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為，則1的個(gè)數(shù)為2n-2k，

所以，

對(duì)數(shù)表，顯然.

將數(shù)表中的由1變?yōu)?/span>-1，得到數(shù)表，顯然，

將數(shù)表中的由1變?yōu)?/span>-1，得到數(shù)表，顯然，

依此類推，將數(shù)表中的由1變?yōu)?/span>-1，得到數(shù)表，

即數(shù)表滿足：，其余，

所以，，

所以，

由k的任意性知，l（A）的取值集合為.