Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex ．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若a∈（0，2），對(duì)于任意x1 ， x2∈[﹣4，0]，都有 恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，

①若a＜﹣2，則f（x）在（﹣∞，a），（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，﹣2）單調(diào)遞減；

②若a=﹣2，則f（x）在R上單調(diào)遞增；

③若a＞﹣2，則f（x）在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，a）單調(diào)遞減；

（2）解：由（1）知，當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，f（x）在（﹣4，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，0）單調(diào)遞減，

所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），

故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，

|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，

即m＞ （e﹣2+1）恒成立，

令g（x）= ，x∈（0，2），易知g（x）在其定義域上有最大值g（1）= ，

所以m＞

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＞ （e﹣2+1）恒成立，令g（x）= ，x∈（0，2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．