Question

設(shè)x₁，x₂分別是函數(shù)f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．已知

x

2 1

=x₂，求a的值及函數(shù)的極值．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用x₁，x₂分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理及

x

2 1

=x₂，可得函數(shù)解析式，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的極值．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a，
∵x₁，x₂分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)
∴x₁+x₂=1-2a，x₁x₂=-2a，所以x₁+x₂-x₁x₂=-1-2a+2a=1，即（x₁-1）+x₂（1-x₁）=0，
所以（x₁-1）（1-x₂）=0
∵

x

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=x₂，
∴x₁=1，
∴x₂=1，a=

1

2

∴f（x）=-2x³+6x-1，f′（x）=-6（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0可得-1＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)增，在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)減
∴當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（-1）=2-6-1=-5；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）=-2+6-1=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)確定函數(shù)的解析式．