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【題目】已知函數.

1)求的單調區(qū)間;

2)設曲線軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,求證:對于任意的實數,都有;

3)若方程為實數)有兩個實數根,,且,求證:.

【答案】1)單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)求出原函數的導函數,求的解,即可求出函數的單調性;

2)設出點的坐標,利用導數求出切線方程,構造函數,利用導數得到對于任意實數,有,即對任意實數,都有;

3)由(2)知,,求出方程的根,由上單調遞減,得到.同理得到,則可證得結果..

1)解:由,可得.

時,,函數單調遞增;

時,,函數單調遞減.

的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.

2)證明:設點的坐標為,則,

曲線在點處的切線方程為,即,

令函數,即,

,R上單調遞減.

時,;當,時,,

上單調遞增,在,上單調遞減,

對于任意實數,,即對任意實數,都有;

3)證明:由(2)知,,設方程的根為,可得.

上單調遞減,又由(2)知,

因此.

類似地,設曲線在原點處的切線方程為,可得,

對于任意的,有,即.

設方程的根為,可得

上單調遞增,且,

因此,

由此可得.

練習冊系列答案
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【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習,為了研究學生在網上學習的情況,某學校在網上隨機抽取120名學生對于線上教育進行調查,其中男生與女生的人數之比為,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.

1)完成列聯表,并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”;

滿意

不滿意

總計

男生

女生

合計

120

2)從被調查中對線上教育滿意的學生中,利用分層抽樣抽取8名學生,再在8名學生中抽取2名學生,作線上學習的經驗介紹,求其中抽取一名男生與一名女生的概率.

參考公式:附:

015

010

005

0025

0010

0005

0001

2072

2706

3842

5024

6635

7879

10828

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名稱

并四苯

n

結構簡式

分子式

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