【題目】已知函數,.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)設曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,求證:對于任意的實數,都有;
(3)若方程為實數)有兩個實數根,,且,求證:.
【答案】(1)單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)求出原函數的導函數,求和的解,即可求出函數的單調性;
(2)設出點的坐標,利用導數求出切線方程,構造函數,利用導數得到對于任意實數,有,即對任意實數,都有;
(3)由(2)知,,求出方程的根,由在上單調遞減,得到.同理得到,則可證得結果..
(1)解:由,可得.
當時,,函數單調遞增;
當時,,函數單調遞減.
的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.
(2)證明:設點的坐標為,,則,,
曲線在點處的切線方程為,即,
令函數,即,
則,在R上單調遞減.
,當時,;當,時,,
在上單調遞增,在,上單調遞減,
對于任意實數,,即對任意實數,都有;
(3)證明:由(2)知,,設方程的根為,可得.
在上單調遞減,又由(2)知,
因此.
類似地,設曲線在原點處的切線方程為,可得,
對于任意的,有,即.
設方程的根為,可得,
在上單調遞增,且,
因此,
由此可得.
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【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習,為了研究學生在網上學習的情況,某學校在網上隨機抽取120名學生對于線上教育進行調查,其中男生與女生的人數之比為,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.
(1)完成列聯表,并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”;
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 | 120 |
(2)從被調查中對線上教育滿意的學生中,利用分層抽樣抽取8名學生,再在8名學生中抽取2名學生,作線上學習的經驗介紹,求其中抽取一名男生與一名女生的概率.
參考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.842 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】過橢圓的左頂點作斜率為2的直線,與橢圓的另一個交點為,與軸的交點為,已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設動直線與橢圓有且只有一個公共點,且與直線相交于點,若軸上存在一定點,使得,求橢圓的方程.
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【題目】已知數列的前n項和為,,若是公差不為0的等差數列,且.
(1)求數列的通項公式;
(2)證明:數列是等差數列;
(3)記,若存在,(),使得成立,求實數的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,點,點是曲線上的動點,為線段的中點.
(1)寫出曲線的參數方程,并求出點的軌跡的直角坐標方程;
(2)已知點,直線與曲線的交點為,若線段的中點為,求線段長度.
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【題目】已知函數f(x)=|x﹣a|+|x+2|.
(1)當a=1 時,求不等式f(x)≤5的解集;
(2)x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,以原點為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知點, 為動直線與橢圓的兩個交點,問:在軸上是否存在點,使為定值?若存在,試求出點的坐標和定值,若不存在,請說明理由.
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【題目】稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質,比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產生苯并芘,它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物,長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結構簡式和分子式:
名稱 | 萘 | 蒽 | 并四苯 | … | 并n苯 |
結構簡式 | … | … | |||
分子式 | … | … |
由此推斷并十苯的分子式為________.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求直線與曲線的普通方程;
(2)若直線與曲線交于、兩點,點,求的值.
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