如圖;已知橢圓C:的離心率為,以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點M、N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與軸交于點R,S,O為坐標(biāo)原點。求證:為定值.
(1)(2)取得最小值為-,圓T的方程為:;
(3)
解析試題分析:(1)橢圓C:的離心率為
由橢圓的左頂點為,所以可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點M與點N關(guān)于軸對稱,設(shè),
,再根據(jù)的取值范圍求出的最小值,并由取得最小值的條件確定,進而確定圓的半徑.
(3)設(shè)點,利用點分別是直線 與軸的交點,把 用表示,
而,結(jié)合點都在橢圓上,將表達式化簡即可.
試題解析:
解:(1)由題意知解之得;,由得b=1,
故橢圓C方程為;3分
(2)點M與點N關(guān)于軸對稱,
設(shè) 不妨 設(shè).
由于點M在橢圓C上,,
由已知,
,
階段;
由于故當(dāng)時,取得最小值為-,
當(dāng)時,故又點M在圓T上,代入圓的方程得,故圓T的方程為:;...8分
(3)設(shè),則直線MP的方程為
令,得,同理, 故,10分
又點M與點P在橢圓上,故 ,
得,
為定值..14分
考點:1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程序;3、向量的數(shù)量積;4直線的方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點A(1,0)的直線,使點C(2,0)關(guān)于直線的對稱點在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.
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已知橢圓:的離心率為,其長軸長與短軸長的和等于6.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的上、下頂點分別為,是橢圓上異于的任意一點,直線分別交軸于點,若直線與過點的圓相切,切點為.證明:線段的長為定值.
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如圖,已知點是離心率為的橢圓:上的一點,斜率為的直線交橢圓于,兩點,且、、三點互不重合.
(1)求橢圓的方程;(2)求證:直線,的斜率之和為定值.
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在平面直角坐標(biāo)系中,點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4,其中C1:,C2:. 設(shè)點P的軌跡為.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線與C交于A,B兩點.問k為何值時?此時的值是多少?
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點為F(4m,0)(m>0,m為常數(shù)),離心率等于0.8,過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若θ=90°,,求實數(shù)m;
(3)試問的值是否與θ的大小無關(guān),并證明你的結(jié)論.
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已知曲線E:ax2+by2=1(a>0,b>0),經(jīng)過點M的直線l與曲線E交于點A、B,且=-2.
(1)若點B的坐標(biāo)為(0,2),求曲線E的方程;
(2)若a=b=1,求直線AB的方程.
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如圖,設(shè)E:=1(a>b>0)的焦點為F1與F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求證:△PF1F2的面積S=b2tanθ.
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已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,且過點P,A為上頂點,F(xiàn)為右焦點.點Q(0,t)是線段OA(除端點外)上的一個動點,過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點M,以QM為直徑的圓的圓心為N.
(1)求橢圓方程;
(2)若圓N與x軸相切,求圓N的方程;
(3)設(shè)點R為圓N上的動點,點R到直線PF的最大距離為d,求d的取值范圍.
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