Question

已知
（1）當時，求的極值；
（2）當時，討論的單調(diào)性；
（3）若對任意的,恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）極大值，極小值1；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）由已知，求函數(shù)導函數(shù)，又.即可得到函數(shù)的極值點，從而求得極值.
（2）當時， 的導數(shù)為零時，得到兩個零點.所以要討論的大小，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.
（3）因為對任意的,恒有成立.即求出的最大值.所以恒成立.再利用分離變量，即可得結(jié)論.
試題解析：（1）當a=1時可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). 在 上是增函數(shù)
∴的極大值為，的極小值.

①當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
②當時，在上是增函數(shù)；
③當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
（3）當時，由（2）可知在上是增函數(shù)，
∴
由對任意的a∈(2, 4)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，
∴
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，
由于，∴.