已知數(shù)列{
an}的各項均為正數(shù),記
A(
n)=
a1+
a2+……+
an,
B(
n)=
a2+
a3+……+
an+1,
C(
n)=
a3+
a4+……+
an+2,
n=1,2,……
(1)若
a1=1,
a2=5,且對任意
n∈N﹡,三個數(shù)
A(
n),
B(
n),
C(
n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{
an }的通項公式.
(2)證明:數(shù)列{
an }是公比為
q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意
,三個數(shù)
A(
n),
B(
n),
C(
n)組成公比為
q的等比數(shù)列.
(1)
(2)見解析
解(1)對任意
,三個數(shù)
是等差數(shù)列,所以
即
亦即
故數(shù)列
是首項為1,公差為4的等差數(shù)列.于是
(Ⅱ)(1)必要性:若數(shù)列
是公比為
q的等比數(shù)列,則對任意
,有
由
知,
均大于0,于是
即
=
=
,所以三個數(shù)
組成公比為
的等比數(shù)列.
(2)充分性:若對于任意
,三個數(shù)
組成公比為
的等比數(shù)列,
則
,
于是
得
即
由
有
即
,從而
.
因為
,所以
,故數(shù)列
是首項為
,公比為
的等比數(shù)列,
綜上所述,數(shù)列
是公比為
的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N﹡,三個數(shù)
組成公比為
的等比數(shù)列.
【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得;第二問要從充分性、必要性兩方面來證明,利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知正項數(shù)列
的前n項和
滿足:
,
(1)求數(shù)列
的通項
和前n項和
;
(2)求數(shù)列
的前n項和
;
(3)證明:不等式
對任意的
,
都成立.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列
滿足
,
是
的前
項的和,并且
.
(1)求數(shù)列
的前
項的和;
(2)證明:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
規(guī)定一種運算﹠:
﹠
=
,
﹠
﹠
,則
﹠
的值為( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知等差數(shù)列
的每一項都有
求數(shù)列
的前n項和
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
數(shù)組
…中的
等于( )
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知等差數(shù)列
的前
項和為
,
,則
的最大值是
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
在等差數(shù)列
中,若
,
是數(shù)列
的前
項和,則
( )
查看答案和解析>>