設(shè)橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于表中:
 x  3 -2  4  
2
 
3
 y -2
3
 0 -4  
2
2
-
1
2
(1)求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C1交于不同兩點(diǎn)M、N,且
OM
ON
=0
,請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的直線l過(guò)拋物線C2的焦點(diǎn)F?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),由題意知C2:y2=4x(2分).設(shè)C2
x2
a2
+
y2
b2
=(a>b>0)
,把點(diǎn)(-2,0)(
2
,
2
2
)代入得
4
a2
=1
2
a2
+
1
2b2
=1
解得
a2=4
b2=1
,由此可知C2的方程.
(2)假設(shè)存在這樣的直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)其方程為x-1=my,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由
OM
ON
=0
.得x1x2+y1y2=0.由
x-1=my
x2
4
+y2=1
消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,然后由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可知假設(shè)成立,即存在直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)Fl的方程為:2x±y-2=0.
解答:解:(1)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有
y2
x
=2p(x≠0)
,
據(jù)此驗(yàn)證5個(gè)點(diǎn)知只有(3,-2
3
)、(4,-4)在統(tǒng)一拋物線上,易求C2:y2=4x(2分)
設(shè)C2
x2
a2
+
y2
b2
=(a>b>0)
,把點(diǎn)(-2,0)(
2
2
2
)代入得
4
a2
=1
2
a2
+
1
2b2
=1
解得
a2=4
b2=1

∴C2方程為
x2
4
+y2=1
(5分)
(2)假設(shè)存在這樣的直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)F(1,0)
設(shè)其方程為x-1=my,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
OM
ON
=0
.得x1x2+y1y2=0(*)(7分)
x-1=my
x2
4
+y2=1
消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,△=16m2+48>0
y1+y2=
-2m
m2+4
,y1y2=
-3
m2+4

x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2;
=1+m•
-2m
m2+4
+m2
-3
m2+4
=
4-4m2
m2+4
②(9分)
將①②代入(*)式,得
4-4m2
m2+4
+
-3
m2+4
=0

解得m=±
1
2
(11分),
∴假設(shè)成立,即存在直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)Fl的方程為:2x±y-2=0(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1的中心和拋物線C2的頂點(diǎn)都在原點(diǎn),且兩曲線的焦點(diǎn)均在x軸上,若A(1,2),B(2,0),C(
2
,
2
2
)
中有兩點(diǎn)在橢圓C1上,另一點(diǎn)在拋物線C2上.
(Ⅰ)求橢圓C1和拋物線C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C1交于M,N兩點(diǎn),與拋物線C2交于P,Q兩點(diǎn).問(wèn)是否存在直線l使得以線段MN為直徑的圓和以線段PQ為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓 C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線 C2x2=4
3
y
 的焦點(diǎn)重合,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率 e=
1
2
,過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F2的直線 l 與橢圓 C 交于 M,N 兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線 l,使得 
OM
ON
=-2
,若存在,求出直線 l 的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2005•海淀區(qū)二模)設(shè)橢圓C1的中心在原點(diǎn),其右焦點(diǎn)與拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn)F重合,過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與C1交與A、B兩點(diǎn),與C2交于C、D兩點(diǎn),已知
|CD|
|AB|
=
4
3

(1)求橢圓C1的方程
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與C1交與M、N兩點(diǎn),與C2交與P、Q兩點(diǎn),若
|PQ|
|MN|
=
5
3
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2005•海淀區(qū)二模)設(shè)橢圓C1的中心在原點(diǎn),其右焦點(diǎn)與拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn)F重合,過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與C1交于A、B兩點(diǎn),與C2交于C、D兩點(diǎn),已知
|CD|
|AB|
=
4
3

(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為
π
3
的直線與C2:y2=4x交于P、Q兩點(diǎn),求|PQ|的值;
(Ⅱ)求橢圓C1的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•德州一模)設(shè)橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C2x2=4
2
y
的焦點(diǎn)重合,F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率e=
3
3
,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是否存在直線l,使得
OM
ON
=-1
,若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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