Question

如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在一個周期內(nèi)的圖象，M，N分別是其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，MC⊥x軸，且矩形MBNC的面積為4π．
（1）求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的一個解析式；
（2）求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）試說明怎樣由y=sinx的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的減區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，的出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)的周期為T，則由題意可得

3T

4

=

5π

6

-

π

12

=

3π

4

，∴T=π=

2π

ω

，ω=2．
再矩形MBNC的面積為4π可得 2A•

T

2

=4π 可得A=4．
再由五點(diǎn)法作圖可得 2×

π

12

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

．
故函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的一個解析式為 f（x）=4sin（2x+

π

3

）．
（2）令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得  kπ-

π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈z．
（3）把y=sinx的圖象向左平移

π

3

個單位，再把圖象上各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="1161666" class="MathJye">

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變；
再把所得的圖象上各個點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，即得函數(shù)f（x）=4sin（2x+

π

3

）的圖象．

點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．