Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（0，a）（a∈R且a≠0），且動(dòng)點(diǎn)D滿足DA=

3

DB．
（1）求過A，B，C三點(diǎn)的⊙Q的方程；
（2）當(dāng)△DAB面積取到最大值

3

時(shí)，
①若此時(shí)動(dòng)點(diǎn)D又在⊙Q內(nèi)（包含邊界），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②設(shè)點(diǎn)G為△DAB的重心，過G作直線分別交邊AB，AD于點(diǎn)M，N，求四邊形MNDB的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程,平面向量的基本定理及其意義,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）設(shè)⊙Q方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由題意，聯(lián)立方程組

1-D+F=0 1+D+F=0 a2+aE+F=0

，解出即可得出．
（2）設(shè)D（x，y），由DA=

3

DB得，（x-2）²+y²=3，可得動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓．可得△DAB中，底邊AB上的高的最大值為

3

．
△DAB面積的最大值為

3

，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，±

3

)．
①由題意知，必有點(diǎn)(2，

3

)在⊙Q內(nèi)（包含邊界）或者點(diǎn)(2，-

3

)在⊙Q內(nèi)（包含邊界），代入⊙Q的方程得22+(

3

)2+

1-a2

a

×

3

-1≤0或22+(-

3

)2+

1-a2

a

(-

3

)-1≤0，解出即可得出a的取值范圍．
②如圖，設(shè)AM=pAB，AN=qAD，

S△AMN

S△ABD

=

1 2 AM•AN•sinA

1 2 AB•AD•sinA

=pq，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，G為△DAB重心，則AG=

2

3

AE．又

S△AMN

S△ABD

=

1

2

(

2

3

p+

2

3

q)，則pq=

1

3

（p+q），由基本不等式得pq≥

2

3

pq

，則S△AMN≥

4

9

S△ABD，從而有S_{四邊形MNBD}=S_△ABD-S_△AMN≤

5

9

S△ABD，即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)⊙Q方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由題意，聯(lián)立方程組

1-D+F=0 1+D+F=0 a2+aE+F=0

，
解得D=0，E=

1-a2

a

，F(xiàn)=-1．
∴⊙Q的方程為x2+y2+

1-a2

a

y-1=0．
（2）設(shè)D（x，y），由題意得

(x+1)2+y2

=

3

(x-1)2+y2

，
化簡得，（x-2）²+y²=3，
∵動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓，
∴△DAB中，底邊AB上的高的最大值為

3

．
∴△DAB面積的最大值為

3

，
此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，±

3

)．
①由題意知，必有點(diǎn)(2，

3

)在⊙Q內(nèi)（包含邊界）或者點(diǎn)(2，-

3

)在⊙Q內(nèi)（包含邊界），
由（1）知⊙Q的方程為x2+y2+

1-a2

a

y-1=0．
代入得22+(

3

)2+

1-a2

a

×

3

-1≤0或22+(-

3

)2+

1-a2

a

(-

3

)-1≤0，
化簡得

a2-2 3 a-1

a

≥0或

a2+2 3 a-1

a

≤0，
解得a∈[

3

-2，0)∪[2+

3

，+∞)；或a∈(-∞，-2-

3

]∪(0，2-

3

]，
∴a∈(-∞，-2-

3

]∪(0，2-

3

]∪[

3

-2，0)∪[2+

3

，+∞)．
②如圖，設(shè)AM=pAB，AN=qAD，

S△AMN

S△ABD

=

1 2 AM•AN•sinA

1 2 AB•AD•sinA

=pq，
點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，G為△DAB重心，則AG=

2

3

AE．
又

S△AMN

S△ABD

=

S△AMG

S△ABD

+

S△ANG

S△ABD

=

1

2

(

S△AMG

S△ABE

+

S△ANG

S△ADE

)=

1

2

(

2

3

p+

2

3

q)，
則pq=

1

3

（p+q），由基本不等式得pq≥

2

3

pq

，
解得pq≥

4

9

，當(dāng)且僅當(dāng)“p=q=

2

3

”時(shí)取“=”，
則S△AMN≥

4

9

S△ABD，從而有S_{四邊形MNBD}=S_△ABD-S_△AMN≤

5

9

S△ABD，
∵S_△ABD的最大值為

3

，
綜上可得有S_{四邊形MNBD}≤

5

9

S△ABD=

5 3

9

，即四邊形MNBD的面積的最大值為

5 3

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)MN∥BD時(shí)取“=”．

點(diǎn)評：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次不等式的解法、三角形重心的性質(zhì)、三角形的面積之比，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．