Question

已知雙曲線3x²-y²=3，過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)．
（1）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡．
（2）若P恰為AB中點(diǎn)，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，兩式相減，利用M時(shí)中點(diǎn)及斜率相等可求M得軌跡方程，從而得到其軌跡；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用P恰為AB中點(diǎn)，得直線的斜率為6，從而可求．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
兩式相減得3x（x₁-x₂）-y（y₁-y₂）=0，
∴

3x

y

=

y-1

x-2

，即3x²-y²-6x+y=0，軌跡為雙曲線；
（2）由（1）知3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
兩式相減得6（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，從而直線的斜率為6，
故所求直線方程為6x-y-11=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查中點(diǎn)弦問(wèn)題，設(shè)而不求是常用方法，應(yīng)注意細(xì)細(xì)體會(huì)．