在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點到一條漸近線l的距離為4，若漸近線l恰好是曲線y=x3-3x2+2x在原點處的切線，則雙曲線的標準方程為
 
．
分析：先求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義：切點處的導數(shù)值是切線的斜率，求出在原點處的切線．再根據(jù)雙曲線的焦點坐標，求得a和b的關系，進而代入焦點到漸近線的距離，求得a和b，則雙曲線的漸近線方程可得．
解答：解：f′（x）=3x2-6x+2．設切線的斜率為k．
切點是原點，k=f′（0）=2，所以所求曲線的切線方程為y=2x．
∵雙曲線的一條漸近線方程是 y=2x，
∴
b
a
=2
又∵
|2c|
22+12
=
|2c|
5
=4
∴c=2
5
，∵c2=a2+b2
∴a2=4  b2=16
∴雙曲線方程為
x2
4
-
y2
16
=1
故答案為
x2
4
-
y2
16
=1．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查運算求解能力、推理能力，還考查了雙曲線的簡單性質，點到直線的距離，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標原點O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點，點P在圓C上，且滿足PF=4，求點P的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．若點A的橫坐標是
3
5
，點B的縱坐標是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，若焦點在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設直線AC與BD的交點為P，求動點P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的上下頂點分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點，直線QA1，QA2分別交x軸于點S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標及對應的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案