Question

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí)，求的值．

 

Answer 1

（1）；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）確定橢圓方程需要兩個(gè)獨(dú)立條件，首先由＝，得，其次利用直線和園相切的條件得，從而可求，進(jìn)而求得橢圓方程；（2）解析幾何中的最值問題，往往要通過選取變量，將目標(biāo)函數(shù)用一個(gè)變量表示，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題處理，本題需要將的面積表示出來，可以表示為和的面積之和，其中，，將直線與橢圓聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系將面積用k表示，進(jìn)而求函數(shù)的最大值．

試題解析：（1）由題意知：＝ ∴，∴. 2分

又∵圓與直線相切， ∴，∴， 3分

故所求橢圓C的方程為 4分

（2）設(shè)，其中，

將代入橢圓的方程整理得：，

故．① 5分

又點(diǎn)到直線的距離分別為，

．

7分

所以四邊形的面積為

9分

， 11分

當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號．

所以當(dāng)四邊形面積的最大值時(shí)，=2. 12分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；2、函數(shù)的最值.