Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC，由條件證明EF為三角形CPA的中位線，可得EF∥PA．再由直線和平面平行的判定定理可得 EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中點(diǎn)O，由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，可得PO垂直平面ABCD，且PO=1．再根據(jù)三棱錐P-BCD的體積V=

1

3

•S_△BCD•PO，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（I）證明：連接AC，由于E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則EF為三角形CPA的中位線，
故有 EF∥PA．
再由PA?平面PAD，EF不在平面PAD內(nèi)，可得EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中點(diǎn)O，∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，則PO垂直平面ABCD，且PO=

PA2-AO2

=1．
故三棱錐P-BCD的體積V=

1

3

•S_△BCD•PO=

1

3

•

1

2

•2•2•1=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求三棱錐的體積，屬于中檔題．