如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長(zhǎng);
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.
分析:(1)先證明AG⊥平面PCD,作EF⊥PC于F,再證EF⊥平面PCD,可得EF∥AG.在應(yīng)用直線(xiàn)和平面平行的判定定理證得 AG∥平面PEC.
(2)先證明四邊形AEFG為平行四邊形,AE=GF,求得PG=
9
5
,再由 
GF
CD
=
PG
PD
,求得GF的值,可得AE的值.
(3)過(guò)E作EO⊥AC于點(diǎn)O,證得∠EFO即為二面角E-PC-A的平面角. 求出EO=AE•sin45°的值,又EF=AG=
12
5
,由sin∠EFO=
EO
EF
=
18
2
25
×
5
12
,運(yùn)算求得結(jié)果.
解答:解:(1)證明:∵正方形ABCD中,CD⊥AD,由PA⊥平面ABCD可得CD⊥PA,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AG.
又PD⊥AG∴AG⊥平面PCD.  …(2分)
作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD,∴EF⊥平面PCD,∴EF∥AG.
又AG不在面PEC內(nèi),而EF?面PEC,∴AG∥平面PEC.  …(4分)
(2)由(Ⅰ)知A、E、F、G四點(diǎn)共面,又AE∥CD,∴AE∥平面PCD,∴AE∥GF.
∴四邊形AEFG為平行四邊形,∴AE=GF.    …(5分)
∵PA=3,AB=4,∴PD=5,AG=
12
5

又PA2=PG•PD,∴PG=
9
5
. …(7分)
GF
CD
=
PG
PD
,∴GF=
9
5
×4
5
=
36
25
,∴AE=
36
25
. …(9分)
(3)過(guò)E作EO⊥AC于點(diǎn)O,易知EO⊥平面PAC.
又EF⊥PC,∴OF⊥PC,∴∠EFO即為二面角E-PC-A的平面角. …(11分)
EO=AE•sin45°=
36
25
2
2
=
18
2
25
,又EF=AG=
12
5
,
∴sin∠EFO=
EO
EF
=
18
2
25
×
5
12
=
3
2
10
.     …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線(xiàn)和平面平行的判定定理的應(yīng)用,求線(xiàn)段的長(zhǎng)度以及二面角的平面角的大小的方法,屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
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(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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