Question

已知F（-2，0），以F為圓心的圓，半徑為r，點(diǎn)A（2，0）是一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線FP相交于點(diǎn)Q．在下列條件下，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．
（1）r=1時(shí)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)；
（2）r=9時(shí)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析：（1）由題意得QA=QP，則|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1，即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)F、A的距離差的絕對(duì)值為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)Q的軌跡是：以F，A為焦點(diǎn)，F(xiàn)A為焦距長(zhǎng)的雙曲線．
（2）由題意QA=QP，F(xiàn)P=FQ+QP=r=9，所以FQ+QA=9．故曲線是以A、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓，由此能求出曲線的方程．

解答：解：（1）當(dāng)r=1時(shí)，
∵A為⊙F外一定點(diǎn)，P為⊙F上一動(dòng)點(diǎn)
線段AP的垂直平分線交直線FP于點(diǎn)Q，
則QA=QP，則|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1，
即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)F、A的距離差的絕對(duì)值為定值，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)Q的軌跡是：以F，A為焦點(diǎn)，F(xiàn)A為焦距長(zhǎng)的雙曲線，
故2a=1，2c=4，⇒a=

1

2

，c=2，b=

15

2

．
故方程為：4x2-

4y2

15

=1(x＞0)，是雙曲線；
（2）當(dāng)r=9時(shí)，
由題意：QA=QP，F(xiàn)P=FQ+QP=r=9，
所以FQ+QA=9．
故曲線是以A、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓，
其2a=9，2c=4，⇒a=

9

2

，c=2，b=

65

2

，
方程為：

4x2

81

+

4y2

65

=1，是橢圓．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的定義、雙曲線的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．熟練掌握雙曲線、橢圓的定義及圓與直線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．屬于中檔題．