Question

已知定義在R上的偶函數(shù)，并且滿足f（x+2﹚=-

1

f(x)

．
（1）當2≤x≤3時，f（x）=x，試求f（105.5）的值；
（2）當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1 試求當x∈﹙6，10﹚時，f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，求出函數(shù)的周期性，利用周期性和奇偶性即可得到結論；
（2）利用函數(shù)的周期性即可求出函數(shù)f（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x+2﹚=-

1

f(x)

．
∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)的周期是4．
則f（105.5）=f（4×26+1.5）=f（1.5），
∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（1.5）=f（1.5-4）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5，
故f（105.5）=f（1.5）=2.5．
（2）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴當x∈[-2，0]時，-x∈[0，2]，即f（-x）=2^-x-1=f（x），即f（x）=2^-x-1，
若x∈（6，8]時，x-8∈（-2，0]，即f（x）=f（x-8）=2^8-x-1，
當x∈（8，10）時，x-8∈（0，2），即f（x）=f（x-8）=2^x-8-1，
即f（x）=

28-x-1， x∈(6，8] 2x-8-1， x∈(8，10)

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應用，根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性是解決本題的關鍵．