Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N⁺）．
求證：數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；
設(shè)數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項和為T_n，求數(shù)列{

1

Tn

}的前n項和為A_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先由數(shù)列遞推式求得數(shù)列的首項，取n=n-1后作差即可證得數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；由等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入{2ⁿa_n}后由等差數(shù)列的前n項和求得T_n，取倒數(shù)后由裂項相消法求得數(shù)列
{

1

Tn

}的前n項和為A_n．

解答： 證明：由S_n=2-（

2

n

+1）a_n，①
取n=1，得a₁=S₁=2-（2+1）a₁，即a1=

1

2

；
當(dāng)n≥2時，Sn-1=2-(

2

n-1

+1)an-1，②
①-②得，an=-

n+2

n

an+

n+1

n-1

an-1，
即

2n+2

n

an=

n+1

n-1

an-1，
∴

an

n

=

1

2

an-1

n-1

（n≥2），
∴數(shù)列{

an

n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列；
∵數(shù)列{

an

n

}是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴

an

n

=

1

2n

，an=

n

2n

．
則2ⁿa_n=2n•

n

2n

=n．
∴T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
則

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
故An=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．