Question

【題目】已知向量 =（ sinωx，1）， =（cosωx，cos2ωx+1），設(shè)函數(shù)f（x）= ．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng)，且ω∈[0，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 ，

函數(shù)

∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，

∴ （k∈Z），

解得： （k∈Z），

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 （k∈Z）

（2）解：由（1）知（2）由（1）知 ，

∵

∴ 函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；．

2x+ ∈[ ， ]，即x∈ 函數(shù)f（x）單調(diào)遞減

又 ，∴當(dāng) }時(shí)函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

∴ { }

【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示達(dá)式將f（x）用、的坐標(biāo)表示，利用二倍角正余弦公式、輔助角公式將f（x）化簡(jiǎn)成y=Asin（）+B的形式，令+=（kZ）可解出；令-+2k+2k（kZ），解出x即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）討論函數(shù)f（x）在[0，]內(nèi)的單調(diào)性，求出f（x）的最值，然后數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論..
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)中心；對(duì)稱(chēng)軸．