已知是二次函數(shù),不等式的解集是(0,5),且在區(qū)間[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數(shù)根?若存在,求出所有m的值;若不存在,請說明理由.
(1);(2)方程,
設,則.
當時,,是減函數(shù);當時,,是增函數(shù).
因為.所以方程在區(qū)間,內分別有唯一實數(shù)根,而區(qū)間,內沒有實數(shù)根.所以存在唯一的正數(shù),使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數(shù)根.
解析試題分析:(1)由已知得0,5是二次函數(shù)的兩個零點值,所以可設,開口方向向上,對稱軸為,因此在區(qū)間上的最大值是,則,即,因此可求出函數(shù)的解析式;(2)由(1)得,構造函數(shù),則方程的實數(shù)根轉化為函數(shù)的零點,利用導數(shù)法得到函數(shù)減區(qū)間為、增區(qū)間為,又有,,,發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間,內分別有唯一零點,而在區(qū)間,內沒有零點,所以存在唯一的正數(shù),使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數(shù)根.
(1)因為是二次函數(shù),且的解集是,
所以可設 2分
所以在區(qū)間上的最大值是. 4分
由已知,得,.. 6分
(2)方程,
設,則. 10分
當時,,是減函數(shù);
當時,,是增函數(shù). 10分
因為.
所以方程在區(qū)間,內分別有唯一實數(shù)根,而區(qū)間,內沒有實數(shù)根. 12分
所以存在唯一的正數(shù),使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數(shù)根. 14分
考點:1.函數(shù)解析式;2.函數(shù)零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
規(guī)定[t]為不超過t的最大整數(shù),例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,對任意實數(shù)x,令f1(x)=[4x],g(x)=4x-[4x],進一步令f2(x)=f1[g(x)].
(1)若x=,分別求f1(x)和f2(x);
(2)若f1(x)=1,f2(x)=3同時滿足,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當x∈[0,2]時,求|f(x)|的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知的三內角分別為,向量
,記函數(shù).
(1)若,求的面積;
(2)若關于的方程有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象切x軸于點(2,0),求a、b的值;
(2)設函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率為k,試求的充要條件;
(3)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于l,求證.
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