【題目】已知數(shù)列滿足a1=m,an+1= (k∈N*,r∈R),其前n項(xiàng)和為.
(1)當(dāng)m與r滿足什么關(guān)系時(shí),對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{an}都滿足an+2=an?
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)m,r,是否存在實(shí)數(shù)p與q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是同一個(gè)等比數(shù)列.若存在,請(qǐng)求出p,q滿足的條件;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)m=r=1時(shí),若對(duì)任意的n∈N*,都有Sn≥λan,求實(shí)數(shù)λ的最大值.
【答案】(1)m+r=0;(2)見解析;(3)1.
【解析】試題分析:(1)由a3=a1,得m+r=0,再證m+r=0滿足題意即可;
(2)依題意,a2n+1=a2n+r=2a2n-1+r,則a2n+1+r=2(a2n-1+r),當(dāng)m+r≠0時(shí),{a2n+1+r}是等比數(shù)列,由題意可得p=r,q=2r,若m+r=0,則不存在實(shí)數(shù)p,q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是等比數(shù)列;
(3)當(dāng)m=r=1時(shí),由(2)可得a2n-1=2n-1,a2n=2n+1-2,由分組求和得
試題解析:
(1)由題意得a1=m,a2=2a1=2m,a3=a2+r=2m+r,
由a3=a1,得m+r=0.
當(dāng)m+r=0時(shí),因?yàn)?/span>an+1= (k∈N*),
所以a1=a3=…=m,a2=a4=…=2m,故對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{an}都滿足an+2=an. 當(dāng)n=2k時(shí),Sn=3(2k+1-k-2),再由的單調(diào)性求最小值即可得λ≤,當(dāng)n=2k-1時(shí),Sn=S2k-a2k=2k+2-3k-4,再由的單調(diào)性求最小值即可得λ≤,從而得解.
即當(dāng)實(shí)數(shù)m,r滿足m+r=0時(shí),符合題意.
(2)存在.依題意,a2n+1=a2n+r=2a2n-1+r,
則a2n+1+r=2(a2n-1+r),
因?yàn)?/span>a1+r=m+r,
所以當(dāng)m+r≠0時(shí),{a2n+1+r}是等比數(shù)列,且a2n+1+r=(a1+r)2n=(m+r)2n.
為使{a2n+1+p}是等比數(shù)列,則p=r.
同理,當(dāng)m+r≠0時(shí),a2n+2r=(m+r)2n,{a2n+2r}是等比數(shù)列,欲使{a2n+q}是等比數(shù)列,則q=2r.
綜上所述,
①若m+r=0,則不存在實(shí)數(shù)p,q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是等比數(shù)列;
②若m+r≠0,則當(dāng)p,q滿足q=2p=2r時(shí),{a2n+1+p}與{a2n+q}是同一個(gè)等比數(shù)列.
(3)當(dāng)m=r=1時(shí),由(2)可得a2n-1=2n-1,a2n=2n+1-2,
當(dāng)n=2k時(shí),an=a2k=2k+1-2,
Sn=S2k=(21+22+…+2k)+(22+23+…+2k+1)-3k
=3(2k+1-k-2),所以=3.
令ck=,
則ck+1-ck=-=<0,
所以≥,即λ≤.
當(dāng)n=2k-1時(shí),an=a2k-1=2k-1,
Sn=S2k-a2k=3(2k+1-k-2)-(2k+1-2)=2k+2-3k-4,
所以=4-,同理可得≥1,即λ≤1.
綜上所述,實(shí)數(shù)λ的最大值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為緩減人口老年化帶來(lái)的問(wèn)題,中國(guó)政府在2016年1月1日作出全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面的“二孩”政策,生“二孩”是目前中國(guó)比較流行的元素某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意父母生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占,統(tǒng)計(jì)情況如表:
性別屬性 | 同意父母生“二孩” | 反對(duì)父母生“二孩” | 合計(jì) |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
合計(jì) | 100 |
請(qǐng)補(bǔ)充完整上述列聯(lián)表;
根據(jù)以上資料你是否有把握,認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中
k |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列中, ,其前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0), 是其前n項(xiàng)的和.記,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù).
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{}是等差數(shù)列,證明:c=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中, 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其右焦點(diǎn)為,且點(diǎn) 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),直線交直線于點(diǎn), 求證:三點(diǎn)在同一條直線上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)對(duì)任意的均有則稱函數(shù)具有性質(zhì)
(Ⅰ)判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)并說(shuō)明理由.
①②
(Ⅱ)若函數(shù)具有性質(zhì),且
求證:對(duì)任意有
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否對(duì)任意均有若成立,給出證明;若不成立,給出反例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四項(xiàng)參賽作品,只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:
甲說(shuō):“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”;
乙說(shuō):“作品獲得一等獎(jiǎng)”;
丙說(shuō):“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;
丁說(shuō):“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________.
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