Question

已知橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1與直線l：y=kx+m交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線l經(jīng)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)，且k=1，求△AOB的面積；
（Ⅱ）若OA⊥OB，且直線l與圓O：x²+y²=r²相切，求圓O的半徑r的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）若直線l經(jīng)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)，且k=1，可得直線的方程，代入橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求△AOB的面積；
（Ⅱ）直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而可得3m²=8（1+k²），利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓E的左焦點(diǎn)為（-2，0），k=1，代入y=kx+m，可得m=2
∴直線l：y=x+2
代入橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1，整理可得3x²+8x=0，
∴x=0或x=-

8

3

，
∴y=2或y=-

2

3

，
∴△AOB的面積S=

1

2

•2•(2+

2

3

)=

8

3

；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線l：y=kx+m，代入橢圓E：

x2

8

+

y2

4

=1，消去y得到（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

（*）
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
把（*）代入可得3m²=8（1+k²），
∵直線l與圓O：x²+y²=r²相切，
∴∴點(diǎn)O到直線l的距離d=r=

|m|

1+k2

=

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．