Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足T_n＝2S_n－n²，n∈N^*.
(1)求a₁的值；
(2)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（1）a₁＝1.（2）a_n＝3·2^n－1－2

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，T₁＝2S₁－1².因?yàn)?i>T₁＝S₁＝a₁，所以a₁＝2a₁－1，解得a₁＝1.
(2)當(dāng)n≥2時(shí)，S_n＝T_n－T_n－1＝2S_n－n²－[2S_n－1－
(n－1)²]＝2S_n－2S_n－1－2n＋1，所以S_n＝2S_n－1＋2n－1，   ①
所以S_n＋1＝2S_n＋2n＋1，②
②－①得a_n＋1＝2a_n＋2.
所以a_n＋1＋2＝2(a_n＋2)，即＝2(n≥2)． (*)
當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＋2＝3，a₂＋2＝6，則＝2.
所以，當(dāng)n＝1時(shí)，適合(*)式，所以{a_n＋2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
則a_n＋2＝3·2^n－1，所以a_n＝3·2^n－1－2.