【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于兩點,直線過坐標原點且與直線的斜率互為相反數(shù).若直線與橢圓交于兩點且均不與點重合,設直線與軸所成的銳角為,直線與軸所成的銳角為,判斷與的大小關系并加以證明.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率為,且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（Ⅱ） 與的大小關系只需看兩直線斜率之間的關系，設設，聯(lián)立,消去得,利用斜率公式以及韋達定理，化簡可得，直線的傾斜角互補,可得.

試題解析：（Ⅰ）由題可得,解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）結論: ,理由如下:

由題知直線斜率存在,

設.

聯(lián)立,

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達定理得,

因為與斜率相反且過原點,

設, ,

聯(lián)立

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達定理得,

因為兩點不與重合,

所以直線存在斜率,

則

所以直線的傾斜角互補,

所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義域為的周期為3的奇函數(shù)，且當時，，則方程在區(qū)間上的解得個數(shù)是（ ）

A. B. 6 C. 7 D. 9

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【題目】

11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

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【題目】已知拋物線C：y2＝2x，過點(2,0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標原點O在圓M上；

(2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）證明略；（2）直線的方程為，圓的方程為.或直線的方程為，圓的方程為

試題分析：（1）設出點的坐標，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由斜率之積為可得，即得結論；（2）結合（1）的結論求得實數(shù)的值，分類討論即可求得直線的方程和圓的方程.

試題解析：（1）設，.

由 可得，則.

又，故.

因此的斜率與的斜率之積為，所以.

故坐標原點在圓上.

（2）由（1）可得.

故圓心的坐標為，圓的半徑.

由于圓過點，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓 的方程為.

【名師點睛】直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求a的值；

（2）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cosθ+sinθ) =0，M為l3與C的交點，求M的極徑.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）證明：；

（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，；

（3）利用（2）的結論判斷是否為有理數(shù)？

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【題目】2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了100人進行調查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生有10人表示對冰球運動沒有興趣額．

（1）完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”？

有興趣

沒興趣

合計

男

55

女

合計

（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)再從該校一年級全體學生中，采用隨機抽樣的方法每次抽取1名學生，抽取5次，記被抽取的5名學生中對冰球有興趣的人數(shù)為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差．

附表：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

（1）這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

（2）估計這次環(huán)保知識競賽的及格率（60分及以上為及格）.

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【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預測可知，進入世紀以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記年為第年，且前年中，第年與年產(chǎn)量萬件之間的關系如下表所示：

若近似符合以下三種函數(shù)模型之一：，，．

(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取其中你認為最適合的數(shù)據(jù)求出相應的解析式；

(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進行反傾銷的影響，年的年產(chǎn)量比預計減少，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定年的年產(chǎn)量．

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