Question

設M是圓x²+y²-6x-8y=0上的動點，O是原點，N是射線OM上的點，若|OM|•|ON|=150，求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：先設M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x，y），欲求出動點N的軌跡方程，只須求出x，y的關系式即可，結合|OM|•|ON|=150關系式，用坐標來表示距離，利用直線的斜率與坐標的關系即可求得點N的軌跡方程．

解答：解：設M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x，y），
由題設|OM|•|ON|=150，得

x 2 1 + y 2 1

•

x2+y2

=150，
當x₁≠0，x≠0時，∵N是射線OM上的點，
∴有

y

x

=

y1

x1

，設

y

x

=

y1

x1

=k，
有y=kx，y₁=kx₁，則原方程為x₁²+k²x₁²-6x₁-8kx₁=0，
由于x≠0，所以（1+k²）x₁=6+8k，
又|x₁x|（1+k²）=150，因為x與x₁同號，
所以x₁=

150

(1+k2)x

，代入上式得

150

x

=6+8k，
因為k=

y

x

，所以

150

x

=6+8

y

x

，
化簡可得：3x+4y-75=0為所求．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．本題求曲線的軌跡方程采用的方法是直接法，直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．