Question

設(shè)M是圓x²+y²-6x-8y=0上動(dòng)點(diǎn)，O是原點(diǎn)，N是射線OM上點(diǎn)，若|OM|•|ON|=120，求N點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：先設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x，y），欲求出動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程，只須求出x，y的關(guān)系式即可，結(jié)合|OM|•|ON|=120關(guān)系式，用坐標(biāo)來(lái)表示距離，利用直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系即可求得點(diǎn)N的軌跡方程．

解答：解：設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x，y），
由題設(shè)|OM|•|ON|=120，得

x 2 1 + y 2 1

•

x2+y2

=120，
當(dāng)x₁≠0，x≠0時(shí)，有

y

x

=

y1

x1

，設(shè)

y

x

=

y1

x1

=k，
有y=kx，y₁=kx₁，則原方程為x₁²+k²x₁²-6x₁-8kx₁=0，
由于x≠0，所以（1+k²）x₁=6+8k，
又|x₁x|（1+k²）=120，因?yàn)閤與x₁同號(hào)，
所以x₁=

120

(1+k2)x

，代入上式得

120

x

=6+8k，
因?yàn)閗=

y

x

，所以

120

x

=6+8

y

x

，即3x+4y-60=0，
當(dāng)x₁=0時(shí)，y₁=8，解得x=0，y=15，也滿(mǎn)足方程3x+4y-60=0，
所以點(diǎn)N的軌跡方程是3x+4y-60=0．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一   求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．本題求曲線的軌跡方程采用的方法是直接法，直接法直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．