Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

x與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y=x對稱，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，則

4

a

+

1

b

的最大值為

-9

（2）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=g（x）-1，若關(guān)于x的方程f（x）-lo

g

(x+2) a

=0（a＞1）在區(qū)間（-2，6]內(nèi)恰有三個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是

(

3	4

，2)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由反函數(shù)的定義以及對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得g（x）=（

1

2

）^x=2^-x，進而結(jié)合題意可得2^-（a+b）=2，即a+b=-1，對

4

a

+

1

b

變形可得其等于-[5+

4b

a

+

a

b

]，由基本不等式的性質(zhì)可得

4b

a

+

a

b

≥4，代入

4

a

+

1

b

=-[5+

4b

a

+

a

b

]可得其最大值，即可得答案．
（2）根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且周期為4，將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意，g（x）=（

1

2

）^x=2^-x，
若g（a）g（b）=2，則有2^-（a+b）=2，即a+b=-1，
則

4

a

+

1

b

=-[（-a）+（-b）][

4

-a

+

1

-b

]=-[5+

4b

a

+

a

b

]，
又由a＜0，b＜0，則

4b

a

＞0且

a

b

＞0，故

4b

a

+

a

b

≥4，
則

4

a

+

1

b

=-[5+

4b

a

+

a

b

]≤-9，
即

4

a

+

1

b

的最大值為-9；
（2）對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4．
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=-log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個不同的交點，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：

3	4

＜a＜2，
則a的取值范圍是（

3	4

，2）
故答案為（1）：-9；（

3	4

，2）．

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，（1）的關(guān)鍵是根據(jù)題意，求出g（x）的解析式，其次要注意題意中a＜0，b＜0的條件，要配湊基本不等式成立的條件．