【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,其中是常數(shù).
(1)求的解析式;
(2)求實(shí)數(shù)的值,使得函數(shù),的最小值為;
(3)已知函數(shù)滿足:對(duì)任何不小于的實(shí)數(shù),都有,其中為不小于的正整數(shù)常數(shù),求證:.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)由函數(shù)是上的奇函數(shù)得出,可解出,再令,求出,利用奇函數(shù)的定義得出的表達(dá)式,從而得出函數(shù)在上的解析式;
(2)由題意得出,令,可得出,再分、、三種情況討論,分析該二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,得出該二次函數(shù)的最小值為,求出的值;
(3)先求出,任取且,利用作差法證明出,由此得出,,,,再利用同向不等式的可加性可得出所證不等式成立.
(1)由于函數(shù)是上的奇函數(shù),則,
那么,當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),,,
.也適合.
因此,;
(2)當(dāng)時(shí),,
則,
令,則,
該二次函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線.
①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí),,解得,合乎題意;
②當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)在上取得最小值,即,整理得,解得,
均不符合題意;
③當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
此時(shí),,不合乎題意.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的最小值為;
(3)當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),,則,
整理得,解得.
任取且,
,
且,,,所以,,
,,,,
上述不等式全部相加得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將三棱錐與拼接得到如圖所示的多面體,其中,,,分別為,,,的中點(diǎn),.
(1)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),證明:平面;
(2)若與均為面積為的等邊三角形,求該多面體體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,己知拋物線,直線交拋物線于兩點(diǎn),是拋物線外一點(diǎn),連接分別交地物線于點(diǎn),且.
(1)若,求點(diǎn)的軌跡方程.
(2)若,且平行x軸,求面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校300名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘).
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 34 | 51 | 59 | 66 | 65 | 25 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 40 | 160 | |
合計(jì) |
(2)通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
參考公式:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x++2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在區(qū)間(0,2]上的值不小于6,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式時(shí)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的拋物線過(guò)點(diǎn),橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,其中與的焦點(diǎn)重合,過(guò)點(diǎn)與的長(zhǎng)軸垂直的直線交于,兩點(diǎn),且,曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓.
(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動(dòng)直線與相切,且與交于,兩點(diǎn),求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線斜率為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,是否存在點(diǎn),使得若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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