若函數(shù)f(x,y,z)滿足f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b),則稱函數(shù)f(x,y,z)為輪換對稱函數(shù),如f(a,b,c)=abc是輪換對稱函數(shù),下面命題正確的是 .
①函數(shù)f(x,y,z)=x2-y2+z不是輪換對稱函數(shù).
②函數(shù)f(x,y,z)=x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)是輪換對稱函數(shù).
③若函數(shù)f(x,y,z)和函數(shù)g(x,y,z)都是輪換對稱函數(shù),則函數(shù)f(x,y,z)-g(x,y,z)也是輪換對稱函數(shù).
④若A、B、C是△ABC的三個內角,則f(A,B,C)=2+cosC•cos(A-B)-cos2C為輪換對稱函數(shù).
【答案】分析:首先理解輪換對稱函數(shù)的定義,然后根據(jù)函數(shù)f(x,y,z)是否滿足f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b),對于①代入運算可知f(x,y,z)≠f(y,z,x)故不是輪換對稱函數(shù),對于②f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y),滿足條件,是輪換對稱函數(shù),對于③f(x,y,z)-g(x,y,z)=f(y,z,x)-g(y,z,x)=f(z,x,y)-g(z,x,y),也滿足定義,是輪換對稱函數(shù),對于④進行化簡整理可知f(A,B,C)=f(B,C,A)=f(C,A,B),滿足定義,故為輪換對稱函數(shù),從而得到正確的命題.
解答:解:①函數(shù)f(x,y,z)=x2-y2+z,則f(y,z,x)=y2-z2+x,f(x,y,z)≠f(y,z,x)故不是輪換對稱函數(shù),故正確;
②函數(shù)f(x,y,z)=x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y),f(y,z,x)=y2(z-x)+z2(x-y)+x2(y-z),滿足f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y),是輪換對稱函數(shù).故正確;
③若函數(shù)f(x,y,z)和函數(shù)g(x,y,z)都是輪換對稱函數(shù),則f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y),g(x,y,z)=g(y,z,x)=g(z,x,y),從而函數(shù)f(x,y,z)-g(x,y,z)=f(y,z,x)-g(y,z,x)=f(z,x,y)-g(z,x,y),滿足定義,故也是輪換對稱函數(shù).故正確;
④若A、B、C是△ABC的三個內角,則f(A,B,C)=2+cosC•cos(A-B)-cos2C,f(B,C,A)=2+cosA•cos(B-C)-cos2A,f(C,A,B)=2+cosB•cos(C-A)-cos2B,f(A,B,C)=f(B,C,A)=f(C,A,B)為輪換對稱函數(shù),故正確.
故答案為:①②③④.
點評:本題考查對新概念的閱讀理解能力,以及三角函數(shù)化簡與運算能力,分析問題的能力,屬于創(chuàng)新題.
科目:高中數(shù)學
來源:2010-2011學年福建省龍巖市高三(上)期末質量檢查一級達標數(shù)學試卷(理科)(解析版)
題型:填空題
若函數(shù)f(x,y,z)滿足f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b),則稱函數(shù)f(x,y,z)為輪換對稱函數(shù),如f(a,b,c)=abc是輪換對稱函數(shù),下面命題正確的是 .
①函數(shù)f(x,y,z)=x2-y2+z不是輪換對稱函數(shù).
②函數(shù)f(x,y,z)=x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)是輪換對稱函數(shù).
③若函數(shù)f(x,y,z)和函數(shù)g(x,y,z)都是輪換對稱函數(shù),則函數(shù)f(x,y,z)-g(x,y,z)也是輪換對稱函數(shù).
④若A、B、C是△ABC的三個內角,則f(A,B,C)=2+cosC•cos(A-B)-cos2C為輪換對稱函數(shù).
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