Question

若函數(shù)f（x，y，z）滿足f（a，b，c）=f（b，c，a）=f（c，a，b），則稱函數(shù)f（x，y，z）為輪換對稱函數(shù)，如f（a，b，c）=abc是輪換對稱函數(shù)，下面命題正確的是    ．
①函數(shù)f（x，y，z）=x²-y²+z不是輪換對稱函數(shù)．
②函數(shù)f（x，y，z）=x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）是輪換對稱函數(shù)．
③若函數(shù)f（x，y，z）和函數(shù)g（x，y，z）都是輪換對稱函數(shù)，則函數(shù)f（x，y，z）-g（x，y，z）也是輪換對稱函數(shù)．
④若A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，則f（A，B，C）=2+cosC•cos（A-B）-cos²C為輪換對稱函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：首先理解輪換對稱函數(shù)的定義，然后根據(jù)函數(shù)f（x，y，z）是否滿足f（a，b，c）=f（b，c，a）=f（c，a，b），對于①代入運(yùn)算可知f（x，y，z）≠f（y，z，x）故不是輪換對稱函數(shù)，對于②f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），滿足條件，是輪換對稱函數(shù)，對于③f（x，y，z）-g（x，y，z）=f（y，z，x）-g（y，z，x）=f（z，x，y）-g（z，x，y），也滿足定義，是輪換對稱函數(shù)，對于④進(jìn)行化簡整理可知f（A，B，C）=f（B，C，A）=f（C，A，B），滿足定義，故為輪換對稱函數(shù)，從而得到正確的命題．
解答：解：①函數(shù)f（x，y，z）=x²-y²+z，則f（y，z，x）=y²-z²+x，f（x，y，z）≠f（y，z，x）故不是輪換對稱函數(shù)，故正確；
②函數(shù)f（x，y，z）=x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y），f（y，z，x）=y²（z-x）+z²（x-y）+x²（y-z），滿足f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），是輪換對稱函數(shù)．故正確；
③若函數(shù)f（x，y，z）和函數(shù)g（x，y，z）都是輪換對稱函數(shù)，則f（x，y，z）=f（y，z，x）=f（z，x，y），g（x，y，z）=g（y，z，x）=g（z，x，y），從而函數(shù)f（x，y，z）-g（x，y，z）=f（y，z，x）-g（y，z，x）=f（z，x，y）-g（z，x，y），滿足定義，故也是輪換對稱函數(shù)．故正確；
④若A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，則f（A，B，C）=2+cosC•cos（A-B）-cos²C，f（B，C，A）=2+cosA•cos（B-C）-cos²A，f（C，A，B）=2+cosB•cos（C-A）-cos²B，f（A，B，C）=f（B，C，A）=f（C，A，B）為輪換對稱函數(shù)，故正確．
故答案為：①②③④．
點(diǎn)評：本題考查對新概念的閱讀理解能力，以及三角函數(shù)化簡與運(yùn)算能力，分析問題的能力，屬于創(chuàng)新題．