已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率e=
1
2
,P1為橢圓上一點(diǎn),滿足
F1F2
P1F2
=0,
P1F1
P1F2
=
9
4
,斜率為k的直線l 過左焦點(diǎn)F1且與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為P、Q,與y軸交點(diǎn)為G,點(diǎn)Q分有向線段
GF1
所成的比為λ.
(I) 求橢圓C的方程;
(II) 設(shè)線段PQ中點(diǎn)R在左準(zhǔn)線上的射影為H,當(dāng)1≤λ≤2時(shí),求|RH|的取值范圍.
分析:(1)先設(shè)|
P1F1
|=r1,|
P1F2
|=r2,
F1F2
P1F2
=0,利用△P1F1F2為直角三角形,得出r1cos∠F1P1F2=r2,利用向量的數(shù)量積公式即可得到r2=
3
2
,從而得 
b2
a
=
3
2
,又e=
c
a
=
1
2
,解得a,b.最后寫出橢圓C的方程;
(2)可求得|RH|關(guān)于k的表達(dá)式,在y=k(x+1)中,令x=0,得G(0,k),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式⇒k2=
3
4
(3λ2+8λ+4),顯然f(λ)=3λ2+8λ+4在[1,2]上遞增,從而求得|RH|的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)|
P1F1
|=r1,|
P1F2
|=r2
F1F2
P1F2
=0,
△P1F1F2為直角三角形且∠P1F2F1=900,則r1cos∠F1P1F2=r2,
P1F1
P1F2
=
9
4
⇒r1r2cosF1P1F2=
9
4
⇒r2=
3
2

由(2a-
3
2
2=
9
4
+4c2得 
b2
a
=
3
2
,又e=
c
a
=
1
2
,解得a2=4,b2=3∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
(2)可求得|RH|=3+
3
3+4k2

在y=k(x+1)中,令x=0,得y=k,即得G(0,k),
由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式⇒k2=
3
4
(3λ2+8λ+4),
顯然f(λ)=3λ2+8λ+4在[1,2]上遞增,
45
4
≤k2≤24,∴3
1
33
≤|RH|≤3
1
16
即為|RH|的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查橢圓的方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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