Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,

(1)求的值,并求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和

(3)設(shè)在數(shù)列中取出(為常數(shù))項(xiàng),按照原來(lái)的順序排成一列,構(gòu)成等比數(shù)列.若對(duì)任意的數(shù)列,均有試求的最小值.

Answer 1

【答案】(1);;;;.(2)(3)最小值為.

【解析】

（1）分別取，以及代入，求出，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，利用，即可求出；

（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論即可得出結(jié)論；

（3）由（1）可知，根據(jù)條件分析子列的公比范圍，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和.

解:(1)當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),;

由此,猜測(cè):

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

(i)當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立;

(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),;

則當(dāng)時(shí),由條件,得

.

即當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立.

于是,由(i),(ii)可知,對(duì)任意的,

均有.

當(dāng)時(shí),.

又,

于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.

(2)因.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

故

(3)因,由于數(shù)列的項(xiàng)子列構(gòu)成等比數(shù)列,

設(shè)其公比為,則

.

因,且,

設(shè)(,且互質(zhì))

(i)當(dāng)時(shí),因,故

(ii)當(dāng)時(shí),因是數(shù)列中的項(xiàng),

故.

從而

綜合(i),(ii),得:在數(shù)列中的所有項(xiàng)等比子數(shù)列中,

其和最大的是:.

故由題意知:的最小值為.

另解(3):因,由于數(shù)列的項(xiàng)子列構(gòu)成等比數(shù)列,

設(shè)其公比為,則.

因,且.

(i)當(dāng)時(shí),因,故

.

(ii)當(dāng)時(shí),因,故

綜合(i),(ii),得:在數(shù)列中的所有項(xiàng)等比子數(shù)列中,

其和最大的是:,故由題意知:的最小值為.