Question

已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，設(shè)f（x）=[x[x]]，當(dāng)x∈[0，n]（n∈N^*）時，設(shè)函數(shù)的值域為A，求A中元素的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計算題,集合

分析：當(dāng)x∈[n-1，n）時，[x[x]]=（n-1）² ，（n-1）²+1，…，n（n-1）-1，共有n-1元素，從而解得．

解答： 解：根據(jù)題意：x∈[n-1，n）時，[x]=n-1，
∴x∈[n-1，n）時，[x[x]]=（n-1）² ，（n-1）²+1，…，n（n-1）-1；
共有n-1元素，
∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1，
∴故當(dāng)n=1時，A中元素的個數(shù)為1+1=2，
當(dāng)n≥2時，A中元素的個數(shù)為1+

(n-1)n

2

+1=

(n-1)n

2

+2；
當(dāng)n=1時上式也成立，
故A中元素的個數(shù)為

(n-1)n

2

+2．

點(diǎn)評：本題考查了取整函數(shù)的應(yīng)用及其應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的值域的求法及集合中的元素的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．