Question

已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率e=，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)F₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△PQF₁的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出直線的方程，利用直線的截距式寫出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a，b，c的等式，再利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值即得到橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到關(guān)于交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，寫出△PQF₁的面積并求出最大值，再將面積用外接圓的半徑表示，求出半徑的最大值．
解答：解：（1）直線AB 的方程為即bx-ay-ab=0
由題意得①
∵②
a²=b²+c²③
解得
∴橢圓的方程為
（2）設(shè)PQ：x=ty+代入
并整理得

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則
，
∴
=
=
當(dāng)即t²=1時(shí)，
∴
又∴
∴
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程的一般方法是利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理找突破口．