【題目】已知函數f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數的底數.若不等式f(x)≤0恒成立,則 的最小值為 .
【答案】﹣
【解析】解:∵函數f(x)=lnx+(e﹣a)x﹣b,其中e為自然對數的底數,
∴ ,x>0,
當a≤e時,f′(x)>0,
f(x)在(0,+∞)上是增函數,∴f(x)≤0不可能恒成立,
當a>e時,由 ,得x= ,
∵不等式f(x)≤0恒成立,∴f(x)的最大值為0,
當x∈(0, )時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,
當x∈( ,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,
∴當x= 時,f(x)取最大值,
f( )=﹣ln(a﹣e)﹣b﹣1≤0,
∴l(xiāng)n(a﹣e)+b+1≥0,
∴b≥﹣1﹣ln(a﹣e),
∴ (a>e),
令F(x)= ,x>e,
F′(x)= = ,
令H(x)=(x﹣e)ln(x﹣e)﹣e,
H′(x)=ln(x﹣e)+1,
由H′(x)=0,得x=e+ ,
當x∈(e+ ,+∞)時,H′(x)>0,H(x)是增函數,
x∈(e,e+ )時,H′(x)<0,H(x)是減函數,
∴當x=e+ 時,H(x)取最小值H(e+ )=﹣e﹣ ,
∵x→e時,H(x)→0,x>2e時,H(x)>0,H(2e)=0,
∴當x∈(e,2e)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)是減函數,
當x∈(2e,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)是增函九,
∴x=2e時,F(xiàn)(x)取最小值,F(xiàn)(2e)= =﹣ ,
∴ 的最小值為﹣ .
所以答案是:﹣ .
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數,需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數在內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知過點A(﹣2,0)的直線與x=2相交于點C,過點B(2,0)的直線與x=﹣2相交于點D,若直線CD與圓x2+y2=4相切,則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E、F,且EF=,則下列結論中正確的序號是_____.
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面積與△BEF的面積相等.④三棱錐A﹣BEF的體積為定值
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為拋物線C上一點,且P在第一象限,PM⊥l于點M,線段MF與拋物線C交于點N,若PF的斜率為 ,則 =( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn , 且滿足12Sn﹣36=3n2+8n,數列{log3bn}為等差數列,且b1=3,b3=27.
(Ⅰ)求數列{an}與{bn}的通項公式;
(Ⅱ)令cn=(﹣1)n ,求數列{cn}的前n項和Tn .
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【題目】若函數f(x)對定義域內的任意x1 , x2 , 當f(x1)=f(x2)時,總有x1=x2 , 則稱函數f(x)為單純函數,例如函數f(x)=x是單純函數,但函數f(x)=x2不是單純函數.若函數 為單純函數,則實數m的取值范圍是 .
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
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