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(本小題共14分)
  四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB//CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=,∠ACB=90°。
 。↖)求證:BC⊥平面PAC;
  (II)求二面角D—PC—A的大。
 。↖II)求點B到平面PCD的距離。
  
,
 解法一:
  證明:(I)∵PA⊥底面ABCD,平面ABCD,
  ∴PA⊥BC
  ∵∠ACB=90°
  ∴BC⊥AC
  又
  ∴BC⊥平面PAC                4分
  解:(II)∵AB//CD,∠DAB=120°
  ∴∠ADC=60°,又AD=CD=1
  ∴△ADC為等邊三角形,且AC=1       5分
  取AC的中點O,則DO⊥AC
  ∵PA⊥底面ABCD
  ∴PA⊥DO
  ∴DO⊥平面PAC
  過O作OH⊥PC,垂足為H,連DH,由三垂線定理知DH⊥PC
  ∴∠DHO為二面角D—PC—A的平面角             7分
  由                 8分
  
  ∴二面角D—PC—A的大小為arctan2              9分
 。↖II)設點B到平面PCD的距離為d
  ∵AB//CD,平面PCD
  ∴AB//平面PCD
  ∴點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離      11分
                          13分
                               14分
  
  解法二:
  證明:(I)同解法一                        4分
  解:(II)取CD的中點E,則AE⊥CD
  ∴AE⊥AB
  又PA⊥底面ABCD,底面ABCD
  ∴PA⊥AE                           5分
  建立空間直角坐標系,如圖。則

A(0,0,0),
  
                   7分
  設為平面PAC的一個法向量
  為平面PDC的一個法向量,則
  ,
  可取;
  ,可取 9分
                 10分
  
  故所求二面角的大小為              11分
 。↖II)又B(0,2,0),               12分
  由(II)取平面PCD的一個法向量
  ∴點B到平面PCD的距離為
                              13分
                         14分
練習冊系列答案
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A.0B.1C.2D.3

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