在直三棱柱中,=2 ,.點(diǎn)分別是 ,的中點(diǎn),是棱上的動(dòng)點(diǎn).

(I)求證:平面;

(II)若//平面,試確定點(diǎn)的位置,

并給出證明;

(III)求二面角的余弦值.

 

【答案】

(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3).

【解析】本題考查了線面平行與垂直及二面角的求法。第一問(wèn)抓住線面垂直的判定定理須證,;第二問(wèn)先說(shuō)明是棱的中點(diǎn),再,取的中點(diǎn)H,證明四邊形為平行四邊形,由線面平行的判定定理得證;第三問(wèn)利用法向量求二面角的余弦值,要注意法向量的準(zhǔn)確求解和余弦值的正負(fù)。

解: (I) 證明:∵在直三棱柱中,,點(diǎn)的中點(diǎn),

   …………………………1分

,, 

⊥平面 ………………………2分

平面

,即 …………………3分

平面      …………………………………4分

  (II)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí),//平面.……………………………5分

證明如下:

連結(jié),取的中點(diǎn)H,連接,

的中位線 

…………………6分

∵由已知條件,為正方形

,

的中點(diǎn),

                                       ……………………7分

,且

∴四邊形為平行四邊形

又  ∵          

//平面                                    ……………………8分

 

(III) ∵ 直三棱柱

依題意,如圖:以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,……………………9分

,,,,

設(shè)平面的法向量,

,即

,有                             ……………………10分

平面的法向量為

==,                    ……………………11分

設(shè)二面角的平面角為,且為銳角

.                       ……………………12分.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2
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的余弦值。

 

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